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第1章 数的幼年期1

1.1 从未开化到文明1

1.2 数的黎明2

1.3 一一对应4

1.4 分割而不变5

1.5 数的语言6

1.6 数词的发展7

1.7 手指计数器10

1.8 金字塔11

1.9 二十进制14

1.10 十二进制16

1.11 六十进制17

1.12 定位与0的祖先17

第2章 离散量和连续量19

2.1 多少个和多少19

2.2 用单位测量20

2.3 连续量的表示方法22

2.4 分数的意义25

2.5 折叠和扩展27

2.6 分数的比较29

2.7 分数的加法和减法30

2.8 乘法的扩大解释32

2.9 乘减少，除增大34

2.10 小数的意义37

2.11 分数和小数38

2.12 循环小数和分数41

2.13 非循环小数43

2.14 加减和乘除44

2.15 数学和现实世界47

第3章 数的反义词49

3.1 正和负49

3.2 新数的名称50

3.3 负的符号52

3.4 正和负的加法53

3.5 减法运算54

3.6 司汤达的疑问55

3.7 乘法运算规则56

3.8 与实际的联系58

3.9 有理数的域60

3.10 代数和61

第4章 代数——灵活的算数63

4.1 代名词的算术63

4.2 代数的文法·交换律65

4.3 结合律66

4.4 分配律68

4.5 方程70

4.6 代数的语源73

4.7 龟鹤算73

4.8 一次方程75

4.9 联立方程78

4.10 矩阵和向量80

4.11 矩阵的计算84

4.12 联立方程和矩阵88

4.13 奇妙的代数89

第5章 图形的科学94

5.1 两部长期畅销书94

5.2 分析的方法95

5.3 分析和综合96

5.4 连接98

5.5 全等三角形100

5.6 公理101

5.7 泰勒斯定理103

5.8 驴桥定理105

5.9 条件和结论107

5.10 对称性109

5.11 定理的联系112

5.12 三边全等定理114

5.13 捉老鼠的逻辑——反证法116

5.14 脊背重合117

5.15 垂直于平面的直线119

5.16 平行线120

5.17 三角形的内角123

5.18 驴都知道124

5.19 驴解决不了的问题127

5.20 倒推法129

5.21 与三点等距离的点130

第6章 圆的世界133

6.1 直线和圆的世界133

6.2 神的难题136

6.3 圆的四边形化138

6.4 圆周角不变定理140

6.5 面积144

6.6 毕达哥拉斯定理148

6.7 长度计算法151

6.8 从触觉到视觉153

6.9 相似和比例156

6.10 相似的条件158

6.11 五角星162

6.12 五角星的秘密164

6.13 有理数普遍存在166

6.14 无理数普遍存在168

6.15 实数169

第7章 复数——最后的乐章171

7.1 二次方程171

7.2 二次方程的解法173

7.3 先天不足的数175

7.4 复数177

7.5 加法和减法179

7.6 乘法和除法181

7.7 正多边形185

7.8 正五边形188

7.9 高斯的发观190

7.10 三次方程191

7.11 卡尔达诺公式193

7.12 数的进化197

7.13 四则逆运算198

7.14 代数学的基本定理200

第8章 数的魔术与科学202

8.1 万物都是数202

8.2 数的魔术204

8.3 恒等式205

8.4 恒等式的计算法210

8.5 求约数的方法211

8.6 公倍数与公约数214

8.7 素数217

8.8 分解的唯一性219

8.9 费马定理221

8.10 循环小数222

第9章 变化的语言——函数224

9.1 变与不变224

9.2 变数和函数226

9.3 正比例229

9.4 鹦鹉的计算方法230

9.5 变化的形式231

9.6 各种类型的函数232

9.7 图表234

9.8 函数的图表235

9.9 解析几何学239

9.10 直线240

9.11 相交和结合242

9.12 贝祖定理244

9.13 圆锥曲线246

9.14 二次曲线248

第10章 无穷的算术——极限251

10.1 运动和无穷251

10.2 无穷级数253

10.3 无穷悖论255

10.4 没有答案的加法257

10.5 一种空想的游戏259

10.6 柯西的收敛条件263

10.7 收敛和加减乘除266

10.8 规则的数列269

10.9 帕斯卡三角形271

10.10 数学归纳法273

10.11 高斯分布276

10.12 阶差277

第11章 伸缩与旋转281

11.1 老鼠算281

11.2 2倍的故事283

11.3 数砂子284

11.4 负的指数285

11.5 分数的指数286

11.6 指数函数288

11.7 对数290

11.8 连续的复利法292

11.9 旋转294

11.10 正弦曲线和余弦曲线297

11.11 极坐标299

11.12 正弦定理和余弦定理300

11.13 海伦公式302

11.14 永远曲线304

11.15 欧拉公式306

11.16 加法定理308

第12章 分析的方法——微分310

12.1 望远镜和显微镜310

12.2 思考的显微镜311

12.3 微分314

12.4 流量和流率316

12.5 指数函数的微分317

12.6 函数的函数322

12.7 反函数323

12.8 函数的函数的微分325

12.9 内插法329

12.10 泰勒级数333

12.11 最大最小335

12.12 最小原理339

第13章 综合的方法——积分342

13.1 分析与综合342

13.2 德谟克里特方法344

13.3 球的表面积·阿基米德方法346

13.4 双曲线所围成的面积348

13.5 定积分351

13.6 卡瓦列里原理354

13.7 基本定理357

13.8 不定积分361

13.9 积分变换364

13.10 酒桶的体积364

13.11 科学和艺术367

13.12 各种各样的地图367

13.13 摆线围成的面积371

13.14 曲线的长度372

第14章 微观世界——微分方程375

14.1 逐步解决法375

14.2 方向场377

14.3 折线法379

14.4 落体法则381

14.5 线性微分方程383

14.6 振动386

14.7 衰减振动388

14.8 从开普勒到牛顿389

14.9 积分定律和微分定律393

14.10 拉普拉斯的魔法394

14.11 锁链的曲线395

附录399

参考文献401

后记402